铁路工程监理甲级资质公司在铁路恢复性修复工程监理过程中，面对质量要求这一核心要素，必须采取一系列专业、严谨的方法措施来确保工程质量。

首先，公司应制定详细的质量监控计划，明确各个环节的质量标准和验收要求，确保施工单位严格按照计划执行。同时，建立质量监督体系，对施工过程进行全程跟踪和监督，发现问题及时整改。

其次，加强原材料和设备的检验与验收工作。对于进入施工现场的原材料和设备，必须按照相关标准进行检验，确保其质量符合工程要求。对于不合格的材料和设备，坚决予以退换。

再者，加强现场巡视和检查。监理人员应定期或不定期对施工现场进行巡视和检查，重点关注施工过程中的质量控制点和难点，确保各项技术措施得到有效落实。

最后，加强质量验收工作。在工程完工后，监理公司应组织专业人员进行质量验收，对工程质量进行全面评估。对于发现的问题，要求施工单位及时整改，直至符合质量要求。

总之，铁路工程监理甲级资质公司应通过制定详细的质量监控计划、加强原材料和设备的检验与验收、加强现场巡视和检查以及加强质量验收等措施，来确保铁路恢复性修复工程的质量要求得到满足。

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